• Christian Hoffmeister

Wege - Wahrscheinlichkeiten und BIT

An Hand des Galton Brettes kann man sehr gut die Gesamtzusammenhänge der digitalen Ökonomie darstellen. Vor allem den Zusammenhang zwischen „Wegen“ (wie zum Beispiel auf einer Website), Wahrscheinlichkeit (wie z.B. bei Netflix, die prognostizieren, welcher Film einem User gefallen könnte) und der binären Codierung im Sinne von 0 und 1.


Francis Galton (von dem auch die erste Idee und der erste Nachweis der Weisheit der Massen stammt) entwickelte Ende des 19. Jahrhunderts ein mechanisches Zufallsexperiment, mit dem die sog. Binomialverteilung, eine spezielle Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung, veranschaulicht werden kann.


Ein Galton–Brett besteht aus einer regelmäßigen Anordnung von Hindernissen, die wie gleichmäßige Dreiecke angeordnet sind und zusammen ein gleichseitiges Dreieck bilden. Die Anordnung entspricht einem Pascalschen Dreieck.

Von oben auf das erste Hindernis werden Kugeln eingeworfen, die sich durch die Hindernisse ihren Weg bahnen, um schließlich in einem Gefäß aufgefangen zu werden.

Die Anzahl der Hindernisreihen und die Anzahl der Kugeln kann eingestellt und verändert werden.





Werden mehrere Kugeln senkrecht und nacheinander von oben eingeworfen, laufen diese durch die Hindernisse, wobei sie in jeder „Zeile“ von einem Hindernis abgelenkt werden und sich an jedem dieser Hindernisse zufällig entscheiden müssen, ob sie (die Kugel) nach rechts oder links abgelenkt wird. Die Wahrscheinlichkeit nach rechts oder links zu fallen liegt jeweils bei p=0,5. Der Weg den eine Kugel durch das Dreieck nimmt, entspricht einem Pfad im Baumdiagramm. Die Anzahl der Wege die zu einem Gefäß führen (oder in den darüber liegenden Zeilen zu einem Hindernis, spiegeln die Wahrscheinlichkeit wider, mit der eine Kugel in ein Gefäß fällt, bzw. auf ein Hindernis trifft.

Gibt es nur ein Hindernis, dann kann die Kugel nach links oder rechts fallen. Damit ist die gesamte Menge an Möglichkeiten zwei und jedes Gefäß hat die Wahrscheinlichkeit p=0,5 eine Kugel zu empfangen. Rechnet man nun die Wege zusammen, die eine Kugel gehen kann, dann sind es zwei Wege und damit hat dieses Experiment 1 Bit Information.





Wird nun eine Hindernisreihe hinzugefügt, dann verändert sich die Bit Zahl und auch die Wahrscheinlichkeit. Eine Kugel muss nun zwei Entscheidungen treffen und insgesamt gibt es vier Wege innerhalb des Dreiecks. Damit gibt es auch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten der Gefäße. Das linke Gefäß kann nur über einen Weg erreicht werden, ebenso das rechte. Das mittlere Gefäß kann hingegen über 2 Wege erreicht werden. Damit hat das mittlerer eine Wahrscheinlichkeit von und das linke und rechte jeweils von ¼.





Wie zu erkennen, kann jeder Weg in Form einer binären Codierung beschrieben werden. Der Weg in das linke Gefäß geht über links-links oder 11 der Weg in das mittlere Gefäß über links rechts (=10) oder über rechst links (=01) und um in das rechte Gefäß zu gelangen muss eine Kugel den Weg rechts rechts = 00 gehen.

Wenn man das Brett erweitert, dann entstehen immer mehr Wege, die in einer binären Form aufgeschrieben werden können. Erweitert man das Brett auf fünf Hinderniszeilen, dann werden 5 Bit benötigt, um alle Wege zu codieren.






Insgesamt gibt es also 32 Wege innerhalb des Hindernisparcours, die zu einer Spalte (0-5) führen.

Nun stellt sich aber die Frage, wie viele Wege zu den einzelnen Spalten führen? Denn diese geben dann auch die Wahrscheinlichkeit an, welchen Weg eine Kugel nehmen wird.

Hier kommt es zum Referenzverweis auf die Kombinatorik. Denn die Anzahl der Wege in der Struktur entspricht der Summe der Wahrscheinlichkeit der Wege im Hindernis. Daher lassen sich nun die Wege zu den einzelnen Spalten unter Anwendung des Binomialkoeffizienten berechnen.



Werden nun alle Wege für jede Zeile berechnet ergeben sich daraus die einzelnen Wahrscheinlichkeiten jedes Gefäßes. Das Gefäß der Spalte 2 hat daher eine Wahrscheinlichkeit von 10/32, während die Spalte 0 nur p = 1/32 ausweist.

Insgesamt sieht das Ergebnis dann folgendermaßen aus.



Werden nun Kugeln durch das Dreieck laufen gelassen, dann bildet sich mit entsprechender Anzahl ein typisches Verteilungsmuster: die Gaußsche Normalverteilung.


Das Konzept der Bit ist ein fundamentales Bindeglied zwischen allen relevanten Konzepten der digitalen Ökonomie, weil Wahrscheinlichkeit, Wege in Graphen und Codierung am Ende auf Nullen und Einsen reduziert werden können.

0 Ansichten
DCI Institute GmbH

Hartwicusstrase 6

22087 Hamburg

Geschäftsführer:

Christian Hoffmeister
Amtsgericht Hamburg 

HRB 99381